Hyperfeinstruktur in der ESR

Dieser Versuch beschäftigt sich mit der Messung des Intervallfaktors in der Hyperfeinstruktur des atomaren Wasserstoffs. Dieser Faktor gibt die Wechselwirkung zwischen dem ungepaarten S-Elektron und dem Kernspin wieder und führt zu einer Aufhebung der Entartung bezüglich der beiden möglichen Spineinstellungen des Elektron- und Kernspins (parallel oder anti-parallel). Die Energiedifferenz, die mit dieser Aufspaltung verbunden ist, entspricht der bekannten 21 cm-Linie (1420 MHz) des Wasserstoffs. Jedoch wird in diesem Versuch kein atomares Wasserstoffgas benutzt, sondern separierte Wasserstoffatome, die in einer gefrorenen Ammoniak-Matrix eingebettet sind. Des weiteren wird die Breit-Rabi-Formel für unseren Fall experimentell nachgewiesen.

Vorbemerkungen

Der Versuch findet im Labor der Arbeitsgruppe I (Polarisiertes Target) im Institut für Experimentalphysik I NB 05/496-497 statt.

Da die Versuchsdurchführung unkompliziert in relativ kurzer Zeit durchführbar ist und auch die häusliche Auswertung nicht sonderlich aufwendig sein wird, besteht ein Hauptaufgabenteil aus einer guten und soliden Vorbereitung der theoretischen Grundlagen zu den behandelten Phänomenen.

Diese Seite gibt nur eine kurze Zusammenfassung der Anleitung wieder.

Zur Theorie der HFS

Ein Teilchen im Magnetfeld

Wird ein magnetisches Moment $\vec{\mu}$ einem externen Magnetfeld $\vec{B}_{ext}$ ausgesetzt, so besitzt es in diesem die Energie

$E=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}_{ext}.$

Geladene Elementarteilchen besitzen, sofern sie einen von Null verschiedenen Eigendrehimpuls (Spin $\vec{S}$) haben, ein magnetisches Moment

$\vec{\mu}=g\mu_{B,K}\vec{S},$

welches in analoger Weise mit einem äußeren Magnetfeld wechselwirkt. Man definiert den g-Faktor als denjenigen Faktor, um den das magnetische Moment des Teilchens vom Wert des entsprechenden "klassischen Kreisstroms" abweicht. Letzterer wird als Magneton bezeichnet. Es sei $\mu_B=e\hbar/2m_e$ das sogenannte Bohr'sche Magneton sowie $\mu_K=e\hbar/2m_p$ das Kernmagneton mit der Elektronen- bzw. Protonenmasse m_e und m_p. Ein weiterer Unterschied zum klassischen Fall des Kreisstroms ergibt sich aus der Quantisierung des Eigendrehimpulses. Ist $\vec{S}$ der Spin des Teilchens, so kann dessen Projektion bezüglich einer bestimmten Vorzugsrichtung $m_s=-s \ldots s$ insgesamt 2s+1 verschiedene Werte annehmen. Der Wert der m_s (magnetische Quantenzahl) ändert sich dabei immer nur um eine Einheit. Damit schreibt sich die Energie zu

$E=-\vec{mu}\cdot\vec{B}_{ext}=-g\mu_{B,K}\vec{S}\cdot\vec{B}_{ext}=-g\mu_{B,K}m_s\cdot B_{ext}=E(m_s)$

Nach den quantenmechanischen Auswahlregeln darf sich bei einem Übergang die magnetische Quantenzahl nur um eine Einheit ändern. Die bei einem Übergang aufgenommene bzw. abgegebene Energiemenge ist also

$\Delta E=|E(m_)-E(m\pm 1)|=g\mu_{B,K}B_{ext}.$

siehe hierzu Übung 1

Aufspaltung der Energieniveaus

In diesem Versuch beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Formen der Energieniveau-Aufspaltungen. Wie wir schon beim Anlegen eines äußeren Felds gesehen haben, gibt es eine Aufspaltung der Energieniveaus bezüglich der magnetischen Quantenzahlen. Jedoch findet auch im Nullfeld eine Aufspaltung des Wasserstoffgrundzustandes (WGZ) statt. Hierbei koppelt der Kernspin $\vec{I}$ mit dem Hüllenspin $\vec{J}$ zu einem neuen Gesamtdrehimpuls

$\vec{F}=\vec{I}+\vec{J}$

mit m_F=-F,-F+1,...,F.

Für den WGZ können nur zwei Werte auftreten und zwar 0 und 1 für eine anti-parallele oder eine parallele Stellung der jeweiligen Spins. Aus der Beziehung

$E_{HFS}=\frac{A_H}{2}(F(F+1)-I(I+1)-J(J+1))$

mit $A_H=-g_K\mu_K\overline{B}_e$ lassen sich die Energien der beiden Einstellungsmöglichkeiten bestimmen (I=J=1/2)

$\left.\begin{matrix}E_{HFS}(F=1) &=& \frac{A_H}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{A_H}{4} \\ \\ E_{HFS}(F=0) &=& \frac{A_H}{2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-3\frac{A_H}{4} \end{matrix}\right\rbrace$ Nullfeld-Bereich

Bestimmt man das wirkende Magnetfeld am Ort des Kerns $|\overline{B_e}|$, welches vom Elektron erzeugt wird, so erhält man für A_H:

$\Delta E_0=A_H=2g_K\mu_K|\overline{B}_e|=5{,}875\cdot10^{-6} eV$

HFS-Niveaus in externen Magnetfeldern

Mit einem externen Magnetfeld wird die Entartung bezüglich der z-Komponente von F aufgehoben. Verbunden damit ist eine weitere Aufspaltung der Energieniveaus. Für F=0 passiert nichts; für F=1 jedoch gibt es, bedingt durch m_F=-1,0,1, eine dreifache Aufspaltung der Energieniveaus $\rightarrow$ Zeeman-Effekt der HFS.

Anschließend muss man noch beachten, ob man sich im "Schwachfeld"-Bereich oder im "Starkfeld"-Bereich befindet. Im "Schwachfeld"-Bereich präzediert der Vektor $\vec{F}$ um die Richtung des äußeren Magnetfelds. Dabei präzedieren die Vektoren $\vec{I}$ und $\vec{J}$ gekoppelt um die Richtung von $\vec{F}$.

Zusammen mit der Nullfedaufspaltung ergibt sich für den WGZ als Gesamtaufspaltung im externen, schwachem Feld:

$\left.\begin{matrix}E_{HFS}(F=1) &\simeq& \frac{A_H}{4} + \mu_BB_{ext}m_F\\ \\ E_{HFS}(F=0) &\simeq& -3\frac{A_H}{4} \end{matrix}\right\rbrace$ Schwachfeld-Bereich

Im "Starkfeld-Bereich" (Paschen-Back-Effekt) findet effektiv eine Entkopplung von $\vec{I}$ und $\vec{J}$ statt. Die Präzession von $\vec{J}$ ist so schnell, dass der Kernspin $\vec{I}$ nicht mehr Mitfolgen kann. $\vec{J}$ präzediert um die Richtung des externen Magnetfelds und $\vec{I}$ um die zeitlich gemittelte Richtung von $\vec{J}$, welche mit der Richtung des externen Feldes übereinstimmt. Es gibt somit keinen Gesatmdrehimpuls mehr.

Die Wechselwirkungsenergie setzt sich zum einen aus den Energien der Elektronenhülle und des Kerns im äußeren Feld zusammen und aus der Energie des Kernspins im Feld des Hüllenelektrons. Die Aufspaltung der HFS im starken Feld lautet dann:

$\left.E_{HFS}^{ext,stark} = m_Jg_e\mu_BB_{ext}+A_Hm_Im_J-m_Ig_K\mu_KB_{ext}\right\rbrace$ Starkfeld-Bereich

mit: $A_H=2g_K\mu_K|\overline{B_e}|$.

Breit-Rabi-Bereich

Der Bereich zwischen dem "Schwachfeld" und dem "Starkfeld" kann mit der Breit-Rabi-Formel beschrieben werden. In diesem Versuch werden wir mit Hilfe dieser Formel den Intervallfaktor bestimmen, sowie den Linienschwerpunkt vorhersagen. Durch eine Anpassung an das Experiment ($\rightarrow$ siehe Anleitung) lässt sich der Intervallfaktor bestimmen, indem man die Magnetfeldwerte misst, bei denen die beiden $\dot H$-Resonanzen auftreten.
Dies führt auf die transzendente Gleichung

$A_H=\frac{1}{2}\left(\sqrt{A_H^2+((1+\epsilon)g_e\mu_BB_h)^2}-\sqrt{A_H^2+((1+\epsilon)g_e\mu_BB_l)^2}+(1-\epsilon)g_e\mu_B(B_h-B_l)\right)$

für A_H, mit $\epsilon=\frac{g_K\mu_K}{g_J\mu_B}$.

Übungsaufgaben

Übung 1

Wie viele Energieniveaus besitzt ein freies Elektron $g_e=2{,}0023$) und welche Übergangsfrequenz hat es in einem äußeren Magnetfeld der Stärke B_ext=0,335 T?

$h=6{,}6262\cdot10^{-34}~J/s=4{,}1359\cdot10^{-15}~eV/s\qquad \mu_B=9{,}2736\cdot10^{-24}J/T=57{,}884~\mu eV/T$

Übung 2

Bestimmen Sie das Verhältnis $\mu_K/\mu_B$ und berechnen Sie den Wert des externen Magnetfelds für den die Kopplungsenergien gleich sind.

Übung 3

Setzen Sie m=-(I+1/2) in die Breit-Rabi-Formel ein und vergegenwärtigen Sie sich die Notwendigkeit der Fallunterscheidung ($\rightarrow$ Differenzierbarkeit als Funktion von x!).

Übung 4

Zeigen Sie, dass für den WGZ die Breit-Rabi-Formel für x=0 in die Nullfeld-Aufspaltung übergeht.

Übung 5

Berechnen Sie x für den WGZ mit B_ext=335 mT. In welchem der Bereiche befindet man sich?

Übung 6

Versuchen Sie die nullte Näherung des Intervallfaktors $A_H^0$ direkt aus der Starkfeld-Näherung zu erhalten.

Vorzubereitende Themen

a) klassische und quantenmechanische Beschreibung des Drehimpulses, Spin

b) magnetisches Moment, g-Faktor, Energie eines magnetischen Moments im äußeren Magnetfeld

c) atomare Fein- und Hyperfeinstruktur-Wechselwirkung

d) Zeeman-Effekt, Paschen-Back-Effekt, Breit-Rabi-Formel

e) Grundlagen eines Elektronenspin-Resonanzspektrometers

Literatur

T. Mayer-Kuckuk 'Atomphysik' T. Mayer-Kuckuk 'Kernphysik' Bergmann-Schaefer 'Experimentalphysik Bd IV Teil 1+2' Jedes einführende Lehrbuch zur Festkörperphysik bezgl. der ESR-Apparatur möglicherweise Angabe aus Biophysik-ESR-Versuch

Kontakt: Dr. Gerhard Reicherz reicherz@ep1.rub.de, Tel. 23542, NB 2/127

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Anleitung: PDF